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Transformaciones de identidad de polinomios

Exponenciación de un binomio

Un binomio es un polinomio que consta de dos términos. En lecciones anteriores elevamos el binomio a la segunda y tercera potencia, obteniendo así las fórmulas de la multiplicación abreviada: + b ²

( a + b ) ³ = ³ + 3 a ² b + 3 ab ² + b ³

hasta el segundo y tercer grado, pero también hasta el cuarto , quinto o grados superiores.

Por ejemplo, elevemos el binomio a + b a la cuarta potencia:

( a + b ) ⁴

Representemos esta expresión como un producto del binomio a + b y el cubo del mismo binomio

( a + b )( a + b ) ³

la suma de dos expresiones. Entonces obtenemos:

( a + b )( a ³ + 3 a ² b + 3 ab 9 0008 ² + b ³ )

Y esta es la multiplicación habitual de polinomios. Vamos a ejecutarlo:

Es decir, al elevar el binomio a + b a la cuarta potencia es un polinomio a ⁴ + 4 a ³ b b ² + 4 ab ³ + b ⁴

( a + b ) 09 3 b + 6 a ² b ² + 4 ab ³ + b ⁴

Elevar el binomio a + b a la cuarta potencia también se puede hacer así: expresar la expresión ( a + b ) ⁴ como producto de potencias ( a + b ) ² ( a + b ) ²

( a + b ) ² ( a + b ) ²

9 0004 Pero la expresión ( a + b ) ² es igual a a ² + 2 ab + b ² . Reemplazar en la expresión ( a + b ) ² ( a + b ) ² los cuadrados de la suma por el polinomio a ² + 2 ab 900 08 + b ²

( a ² + 2 ab + b ² )( a ² + 2 9000 7 b ² )

Y esta es nuevamente la multiplicación habitual de polinomios. Vamos a ejecutarlo. Obtendremos el mismo resultado que antes:

Exponenciación de un trinomio

Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos. Por ejemplo, la expresión a + b + c es un trinomio.

A veces puede surgir el problema de elevar un trinomio a una potencia. Por ejemplo, elevemos al cuadrado el trinomio a + b + c

( a + b + c ) ²

Los dos términos entre corchetes se pueden encerrar entre corchetes. Por ejemplo, concluyamos la suma a + b entre paréntesis:

(( a + b ) + c ) ²

En este caso, la suma a + b se tratará como un solo término. Entonces resulta que no estamos elevando al cuadrado un trinomio, sino un binomio. La suma a + b será el primer término, y el término c será el segundo término. Y ya sabemos cómo elevar al cuadrado un binomio. Para ello, puedes utilizar la fórmula del cuadrado de la suma de dos expresiones:

( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ²

Aplica esta fórmula a nuestro ejemplo:

Entonces, de la misma manera, puedes cuadrado un polinomio que consta de cuatro o más términos. Por ejemplo, elevemos al cuadrado el polinomio a + b + c + d

( a + b + c + d ) ²

Representemos el polinomio como la suma de dos expresiones: a + b 90 008 y c+d. Para ello, enciérrelos entre paréntesis:

(( a + b ) + ( c + d )) ²

0002 Selección del cuadrado completo del trinomio cuadrado

Otra transformación idéntica, que puede ser útil para resolver problemas es la selección de un cuadrado completo a partir de un trinomio cuadrado.

Un trinomio cuadrado es un trinomio de segundo grado. Por ejemplo, los siguientes trinomios son cuadrados:

La idea de extraer un cuadrado completo de tales trinomios es representar el trinomio cuadrado original como la expresión ( a + b ) ² + c , donde ( a + b ) 9 0009 2 cuadrado completo, y c – alguna expresión numérica o literal.

Por ejemplo, seleccionemos el cuadrado completo del trinomio 4 x ² + 16 x + 19.

Primero necesitas construir una expresión como a ² + 2 ab + b ² . Lo construiremos a partir del trinomio 4 x ² + 16 x + 19. Para empezar, determinaremos qué miembros jugarán los roles de variables a y b

El rol de variable a jugará gallo 2 x , ya que el primer término del trinomio 4 x ² + 16 x + 19, es decir 4 x ^{2 900 10 se obtiene si 2 x al cuadrado:}

(2 x ) ² = 4 x ²

Entonces la variable a es 2 90 007 x

a = 2 x

Ahora volvemos al trinomio original e inmediatamente prestamos atención a la expresión 16 x . Esta expresión es el doble producto de la primera expresión a (en nuestro caso es 2 x ) y la segunda expresión 9, que aún no conocemos0007b. Coloque temporalmente un signo de interrogación en su lugar:

2 × 2 x × ? = 16 x

Si miras de cerca la expresión 2 × 2 x × ? = 16 x , intuitivamente queda claro que el miembro b en esta situación es el número 4, ya que la expresión 2 × 2 x es 4 x , y para obtener 16 x necesitas multiplicar 4 x 9000 8 por 4.

2 × 2 x × 4 = 16 x

De esto concluimos que la variable b es igual a 4

b = 4

Entonces, nuestro cuadrado completo será la expresión (2 x ) ² + 2 × 2 x × 4 + 4 ²

Ahora estamos listos para completar el cuadrado del trinomio 4 x ² + 16 x + 19.

Entonces, de vuelta al trinomio original 4 x ² + 16 x + 19y trata de incrustar con cuidado el cuadrado completo que hemos obtenido (2 x ) 2 + 16 x + 19 =

En lugar de 4 x ² escribimos (2 x ) ²

4 x ² + 16 x + 19 = (2 x ) ²

En lugar de 16 x escribimos el producto doble, a saber, 2 × 2 x × 4

4 x ² + 16 x + 19 = (2 x ) ² + 2 × 2 9000 7 x × 4

Luego suma el cuadrado de la segunda expresión:

4 x ² + 16 x + 19 = (2 x ) ² + 2 x 2 x x 4 + 4 ^{2 9001 0}

Y por ahora reescribimos término 19 tal cual:

4 x ² + 16 x + 19 = (2 x ) ² + 2 × 2 x × 4 + 4 ² + 19

0007x×4+ 4 ² + 19 no es idéntico al trinomio original 4 x ² + 16 x + 19. Puede verificar esto llevando el polinomio (2 x ) ^{2 9 0010 + 2 × 2 x × 4 + 4 2 + 19 a la vista estándar:}

(2 x ) ² + 2 × 2 x × 4 + 4 ² + 19 = 4 x ² + 16 x + 4 ² + 19

Vemos que obtenemos un polinomio 4 x ² + 16 x + 4 ² + 19, pero debería haber sido 4 x ² + 16 x + 19. Esto se debe a que el término 4 ² fue introducido artificialmente en trinomio inicial para organizar un cuadrado completo a partir del trinomio 4 x ² + 16 x + 19

0009 2 + 16 x + 19 = ( 2 x ) ² + 2 × 2 × × 4 + 4 ² − 4 ² + 19

Ahora la expresión (2 x ) ² + 2 × 2 x × 4 + 4 ² puede contraerse, es decir, escribirse como ( a + b ) ² . En nuestro caso, obtenemos la expresión (2 x + 4) ²

4 x ² + 16 x + 19 = (2 90 007 x ) ² + 2 × 2 x × 4 + 4 ² − 4 ² + 19 = (2 x + 4)

Los términos restantes -4 ² y 19 se pueden sumar. −4 ² es −16, por lo tanto −16 + 19 = 3

4 x ² + 16 x + 19 = (2 x ) 4 ² + 19 = (2 x + 4) ^{2 900 10} − 4 ² + 19 = (2 x + 4) ² + 3

Entonces 4 x ² + 16 x + 19 = (2 x + 4) 9000 9 2 + 3

Ejemplo 2 . Seleccione el cuadrado completo del trinomio cuadrado x ² + 2 x + 2

009 2 . El papel de la variable a en este caso lo juega x, ya que x ² = x ² .

El siguiente término del trinomio original 2 x se reescribirá como un producto doble de la primera expresión (tenemos x ) y la segunda expresión b (será 1).

2 × x × 1 = 2 x

+ 1 ² .

Ahora regresemos al trinomio cuadrado original e insertemos el cuadrado completo en él ² + 2 x + 2 = x ² + 2 x + 1 ² − 1 ² + 2 = ( x + 1) ² + 1

Considere la siguiente expresión numérica:

9 + 6 + 2

El valor de esta expresión es 17

9 + 6 + 2 = 17

Intentemos extraer un cuadrado completo en esta expresión numérica. Para hacer esto, primero construimos una expresión de la forma a ² + 2 ab + b ² . El papel de la variable y en este caso lo juega el número 3, ya que el primer término de la expresión 9 + 6 + 2, es decir 9, se puede representar como 3 ² .

El segundo término 6 se representa como un producto doble del primer término 3 y el segundo 1

2 × 3 × 1 = 6

Es decir, la variable b será igual a uno. Entonces la expresión 3 ² + 2 × 3 × 1 + 1 ^{será un cuadrado perfecto2} . Implementémoslo en la expresión original:

3 ² + 6 + 2 = 3 ² + 2 × 3 × 1 + 1 ² − 1 ² + 2 90 005

Colapsamos la plaza completa , y los términos − 1 ² y 2 servimos:

3 ² + 6 + 2 = 3 ² + 2 × 3 × 1 + 1 ² − 1 ² + 2 = (3 + 1) ² + 1

El resultado es (3 + 1) ² + 1, que sigue siendo 17

(3 + 1) ² +1 = 4 ² + 1 = 17

Digamos que tenemos un cuadrado y dos rectángulos. Un cuadrado de 3 cm de lado, un rectángulo de 2 cm y 3 cm de lado, y un rectángulo de 1 cm y 2 cm de lado

Calcula el área de cada figura. El area del cuadrado sera 3 ² = 9 cm ² , el area del rectangulo rosa sera 2×3 = 6 cm ² , el area del rectangulo lila sera 1 × 2 = 2 cm ²

900 05

Escribe la suma de las áreas de estos rectángulos:

9 + 6 + 2

Esta expresión se puede entender como la unión de un cuadrado y dos rectángulos en una sola figura: De hecho, la figura presentada contiene 17 cuadrados con un lado de 1 cm

Intentemos formar un cuadrado a partir de la figura existente. Y el cuadrado más grande posible. Para hacer esto, usaremos partes del rectángulo rosa y lila.

Para formar el cuadrado más grande posible a partir de la figura existente, puede dejar el cuadrado amarillo sin modificar y adjuntar la mitad del rectángulo rosa a la parte inferior del cuadrado amarillo:

Vemos que falta un centímetro cuadrado más antes de formar un cuadrado completo. Podemos tomarlo del rectángulo lila. Entonces, tomemos un cuadrado del rectángulo lila y adjúntelo al cuadrado grande formado:

Ahora echemos un vistazo más de cerca a lo que hemos llegado. Es decir, en la parte amarilla de la figura y la parte rosa, que esencialmente aumentó el cuadrado amarillo anterior. ¿No significa esto que había un lado del cuadrado igual a 3 cm, y este lado se incrementó en 1 cm, lo que finalmente condujo a un aumento en el área?

(3 + 1) ²

La expresión (3 + 1) ² es 16 porque 3 + 1 = 4 y 4 ^{2 90 010 = 16. El mismo resultado se puede obtener si usa la fórmula para el cuadrado de la suma de dos expresiones:}

(3 + 1) ² = 3 ² + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

De hecho, el cuadrado resultante contiene 16 cuadrados .

El cuadrado restante del rectángulo morado se puede unir al cuadrado grande resultante. Después de todo, originalmente se trataba de una sola cifra:

(3 + 1) ² + 1

expresiones 9 + 6 + 2

9 + 6 + 2 = 3 ² + 6 + 2 = 3 ² + 2 × 3 × 1 + 1 ² − 1 ² + 2 = (3 + 1) ² + 1

La expresión (3 + 1) ² + 1, como la expresión 9 + 6 + 2, es igual a 17. De hecho, el área de la figura formada es 17 cm ² .

Ejemplo 4 . Realicemos la extracción del cuadrado completo del trinomio cuadrado 8 = x ² + 2 × x × 3 + 3 ² − 3 ² + 8 = ( x + 3 ) ² − 1

9 2 + 2 ab + b ² no es posible determinar inmediatamente los valores de las variables a y b .

Por ejemplo, extraigamos el cuadrado completo del trinomio cuadrado x ² + 3 x + 2

La variable a corresponde a x . El segundo término 3 x no se puede representar como un doble producto de la primera expresión y la segunda. En este caso, el segundo término debe multiplicarse por 2, y para que el valor del polinomio original no cambie, inmediatamente se divide por 2. Quedará así:

La fracción resultante y contiene los valores de las variables a y b . Nuestra tarea es ser capaces de reconocerlos correctamente. Reescribamos esta fracción como un producto de un factor de 2, una fracción y una variable x

Ahora el segundo término se representa como un doble producto de la primera expresión y la segunda. La variable a , como se mencionó anteriormente, es x . Y la variable b es igual a la fracción

Volviendo a nuestro ejemplo y sumando el cuadrado de la segunda expresión, y para que no cambie el valor de la expresión, restamos inmediatamente:

Sumamos el término restante 2 segunda expresión y el número 2 se puede plegar. Como resultado, obtenemos:

Ejemplo 6 . Seleccionemos el cuadrado completo del trinomio cuadrado 9 x ² + 18 x + 7

Ejemplo 7 . Extraigamos el cuadrado completo del trinomio cuadrado x ² − 10 x + 1

En este trinomio, los dos primeros términos están conectados por un signo menos. En este caso, como antes, debe seleccionar el cuadrado completo, pero este será el cuadrado de la diferencia. En pocas palabras, necesita construir una expresión como a ² − 2 ab + b ² .

Ejemplo 8 . Extraigamos el cuadrado completo del trinomio cuadrado 16 x ² + 4 x + 1

Ejemplo 9 . Factorice el polinomio x ² + 6 x + 8 utilizando la selección de cuadrados completos.

Primero, seleccione el cuadrado completo:

El polinomio resultante ( x + 3) ² − 1 es la diferencia de los cuadrados, ya que la unidad se puede representar como 1 ² . Usemos la fórmula de diferencia de cuadrados y descompongamos el polinomio ( x + 3) ² − 1 en factores:

Solución:

Mostrar solución

Tarea 2. Elevar un polinomio a una potencia :

Solución:

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Tarea 3. Elevar un polinomio a una potencia:

Solución:

Mostrar solución

Tarea 4. Seleccionar el cuadrado completo del trinomio cuadrado:

Solución:

Mostrar la solución

Tarea 5. Seleccionar el cuadrado completo del trinomio cuadrado:

90 004 Solución:

Mostrar solución

Tarea 6. En la siguiente expresión, seleccione el cuadrado completo:

Solución:

Mostrar la solución

Tarea 7. En la siguiente expresión, seleccione el cuadrado completo:

Solución:

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Tarea 8. En la siguiente expresión, seleccione el cuadrado completo:

Solución:

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Tarea 9. En la siguiente expresión, seleccione el cuadrado completo:

Solución: 90 005

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Tarea 10. En la siguiente expresión, seleccione el cuadrado completo:

Solución:

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Transformaciones de identidad de expresiones, sus tipos

Las transformaciones de identidad son el trabajo que hacemos con expresiones numéricas y alfabéticas, así como con expresiones que contienen variables. Realizamos todas estas transformaciones para llevar la expresión original a una forma que sea conveniente para resolver el problema. Consideraremos los principales tipos de transformaciones idénticas en este tema.

Conversión de expresión de identidad. ¿Lo que es?

Por primera vez nos encontramos con el concepto de idéntico transformado en lecciones de álgebra en el 7mo grado. Luego, primero nos familiarizamos con el concepto de expresiones idénticamente iguales. Abordemos los conceptos y definiciones para facilitar la asimilación del tema.

Definición 1

Transformación de identidad de una expresión son acciones realizadas para reemplazar la expresión original con una expresión que será idénticamente igual a la original.

A menudo, esta definición se usa en una forma abreviada que omite la palabra “idéntico”. Se supone que en cualquier caso realizamos la transformación de la expresión de tal manera que se obtenga una expresión idéntica a la original, y esto no necesita ser enfatizado por separado.

Ilustremos esta definición con ejemplos.

ejemplo 1

1332x+3−2 .

Ejemplo 2

Reemplazar la expresión 2 a6 con la expresión a3 es la misma transformación, mientras que reemplazar la expresión x con la expresión x2 no es la misma transformación, ya que las expresiones x y x2 91 333 son no idénticamente iguales.

Llamamos su atención sobre la forma de escribir expresiones al realizar transformaciones idénticas. Usualmente escribimos la expresión original y la expresión resultante como una igualdad. Entonces, escribir x+1+2=x+3 significa que la expresión x+1+2 se ha reducido a la forma x+3.

La ejecución secuencial de acciones nos lleva a una cadena de igualdades, que son varias transformaciones idénticas consecutivas. Así, entendemos la notación x+1+2=x+3=3+x como una sucesión de dos transformaciones: primero, la expresión x+1+2 se redujo a la forma x+3, y se redujo a la forma forma 3+x.

Transformaciones de identidad y ODZ

Una serie de expresiones que comenzamos a estudiar en el 8º grado no tienen sentido para ningún valor de las variables. Realizar transformaciones idénticas en estos casos nos obliga a prestar atención a la región de valores admisibles de las variables (ODV). Realizar transformaciones idénticas puede dejar la ODZ sin cambios o reducirla.

Ejemplo 3

Al pasar de la expresión a+(−b) a la expresión a−b , el rango de valores válidos para las variables a y b sigue siendo el mismo.

Ejemplo 4

La transición de la expresión x a la expresión x2x conduce a un estrechamiento del rango de valores aceptables para la variable x del conjunto de todos los números reales al conjunto de todos los números reales, a partir del cual cero tiene sido excluido.

Ejemplo 5

Transformación de identidad de expresión x2x expresión x lleva a la expansión del rango de valores aceptables de la variable x del conjunto de todos los números reales excepto el cero al conjunto de todos los números reales.

Reducir o expandir el rango de valores permitidos de las variables cuando se realizan transformaciones idénticas es importante para resolver problemas, ya que puede afectar la precisión de los cálculos y generar errores.

Transformaciones de identidad básicas

Veamos ahora qué son las transformaciones de identidad y cómo se realizan. Señalemos aquellos tipos de transformaciones idénticas con las que tenemos que lidiar más a menudo en el grupo principal.

Además de las transformaciones de identidad básicas, hay una serie de transformaciones que se aplican a expresiones de un tipo particular. Para fracciones, estos son métodos de reducción y reducción a un nuevo denominador. Para expresiones con raíces y potencias, todas las acciones que se realizan en base a las propiedades de raíces y potencias. Para expresiones logarítmicas, acciones que se realizan en base a las propiedades de los logaritmos. Para expresiones trigonométricas, todas las acciones utilizan fórmulas trigonométricas. Todas estas transformaciones particulares se analizan en detalle en temas separados que se pueden encontrar en nuestro recurso. Por esta razón, no nos detendremos en ellos en este artículo.

Pasemos a la consideración de las transformaciones idénticas básicas.

Términos de intercambio, factores

Empecemos con los términos de intercambio. Nos ocupamos de esta transformación idéntica más a menudo. Y la siguiente declaración puede considerarse la regla principal aquí: en cualquier suma, la reorganización de los términos en lugares no afecta el resultado.

Esta regla se basa en las propiedades conmutativas y asociativas de la suma. Estas propiedades nos permiten reordenar los términos en lugares y al mismo tiempo obtener expresiones que son idénticamente iguales a las originales. Por eso el reordenamiento de los términos en los lugares de la suma es una transformación idéntica.

Ejemplo 6

Tenemos la suma de tres términos 3+5+7. Si intercambiamos los términos 3 y 5, la expresión tomará la forma 5+3+7. Hay varias opciones para reorganizar los términos en este caso. Todos ellos conducen a obtener expresiones idénticamente iguales a la original.

No solo los números, sino también las expresiones pueden actuar como términos en la suma. Ellos, al igual que los números, se pueden reorganizar sin afectar el resultado final de los cálculos.

Ejemplo 7

En la suma de tres términos 1a+b, a2+2 a+5+a7 a3 y -12 a de la forma 1a+b+a2+2 a+5+a7 a3+(-12) a los términos se puede reorganizar, por ejemplo, así (-12) a+1a+b+a2+2 a+5+a7 a3 . A su vez, puedes reordenar los términos en el denominador de la fracción 1a+b, mientras que la fracción tomará la forma 1b+a. Y la expresión bajo el signo raíz a2+2 a+5 también es una suma en la que se pueden intercambiar los términos.

De la misma manera que los términos, en las expresiones originales, puedes intercambiar los factores y obtener ecuaciones idénticamente correctas. La realización de esta acción se rige por la siguiente regla:

Definición 2

En un producto, reordenar los factores en lugares no afecta el resultado de los cálculos.

Esta regla se basa en las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación, que confirman la exactitud de la transformación idéntica.

Ejemplo 8

El producto 3 5 7 se puede representar por permutación de factores en una de las siguientes formas: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 o 3 7 ·5 .

Ejemplo 9

Permutando los factores en x+1 x2-x+1x da x2-x+1x x+1

Expansión de paréntesis

Los paréntesis pueden contener expresiones numéricas y expresiones con variables. Estas expresiones se pueden transformar en expresiones idénticamente iguales, en las que no habrá ningún paréntesis o habrá menos que en las expresiones originales. Esta forma de convertir expresiones se llama expansión de paréntesis.

Ejemplo 10

Realicemos operaciones con paréntesis en una expresión de la forma 3+x−1x para obtener una expresión idénticamente correcta 3+x−1x .

La expresión 3 x-1+-1+x1-x se puede convertir a la expresión idénticamente igual sin paréntesis 3 x-3-1+x1-x .

Discutimos en detalle las reglas para convertir expresiones con corchetes en el tema “Expansión de corchetes”, que se publica en nuestro recurso.

Agrupación de términos, factores

En los casos en que estemos tratando con tres o más términos, podemos recurrir a un tipo de transformaciones idénticas como agrupación de términos. Por este método de transformación se entiende la unión de varios términos en un grupo reorganizándolos y colocándolos entre paréntesis.

Al agrupar, los términos se intercambian de tal manera que los términos agrupados aparecen uno al lado del otro en el registro de expresión. Después de eso, se pueden encerrar entre paréntesis.

Ejemplo 11

Toma la expresión 5+7+1 . Si agrupamos el primer término con el tercero, obtenemos (5+1)+7 .

La agrupación de factores se realiza de forma similar a la agrupación de términos.

Ejemplo 12

En el producto 2 3 4 5 , podemos agrupar el primer factor con el tercero, y el segundo con el cuarto, y llegaremos a la expresión (2 4) (3 5) . Y si agrupamos el primer, segundo y cuarto factor, obtendríamos la expresión (2 3 5) 4 .

Los términos y factores que se agrupan se pueden representar tanto por números primos como por expresiones. Las reglas de agrupación se analizaron en detalle en el tema “Términos y factores de agrupación”.

Sustitución de diferencias por sumas, productos parciales y viceversa

La sustitución de diferencias por sumas se hizo posible gracias a nuestro conocimiento de los números opuestos. Ahora resta del número a los números b se puede considerar como sumando al número a los números − b . La igualdad a−b=a+(−b) puede considerarse justa y, en base a ella, las diferencias pueden reemplazarse por sumas.

Ejemplo 13

Tomemos la expresión 4+3−2 , en la que podemos escribir la diferencia de números 3−2 como la suma de 3+(−2) . Obtenemos 4+3+(−2) .

Ejemplo 14

Todas las diferencias en la expresión 5+2 x−x2−3 x3−0.2 pueden ser reemplazadas por sumas como 5+2 x+(−x2)+(−3 x3)+(−0,2) .

Podemos cambiar a sumas de cualquier diferencia. Del mismo modo, podemos hacer una sustitución inversa.

La sustitución de la división por la multiplicación por el recíproco de un divisor es posible gracias al concepto de números recíprocos. Esta transformación se puede escribir como a:b=a·(b−1) .

Esta regla fue la base para la división de fracciones ordinarias.

Ejemplo 15

Cociente 12:35 puede ser reemplazado por un producto de la forma 12 53 .

Del mismo modo, por analogía, la división puede ser reemplazada por la multiplicación.

Ejemplo 16

En el caso de la expresión 1+5:x:(x+3) , la división por x puede ser reemplazada por la multiplicación por 1x . Podemos reemplazar la división por x+3 con la multiplicación por 1x+3 . La transformación nos permite obtener una expresión idéntica a la original: 1+5 1x 1x+3 .

La sustitución de la multiplicación por la división se realiza según el esquema a b=a:(b−1) .

Ejemplo 17

En la expresión 5 xx2+1-3, la multiplicación se puede reemplazar por división como 5:x2+1x-3.

Realizar operaciones con números

Realizar operaciones con números obedece a la regla del orden de las operaciones. Primero, las operaciones se realizan con potencias de números y raíces de números. Después de eso, reemplazamos logaritmos, funciones trigonométricas y otras funciones con sus valores. Luego se realizan las acciones entre paréntesis. Y luego ya puede realizar todas las demás acciones de izquierda a derecha. Es importante recordar que la multiplicación y la división se realizan antes que la suma y la resta.

Las operaciones con números permiten convertir la expresión original en otra idéntica igual.

Ejemplo 18

Transformemos la expresión 3·23-1·a+4·x2+5·x realizando todas las operaciones posibles con números.

Solución

En primer lugar, fijémonos en la potencia de 23 y la raíz de 4 y calculemos sus valores: 23=8 y 4=22=2.

Sustituye los valores obtenidos en la expresión original y obtienes: 3·(8-1)a+2·(x2+5·x) .

Ahora hagamos las acciones entre paréntesis: 8−1=7 . Y pasemos a la expresión 3 7 a+2 (x2+5 x).

Nos queda multiplicar los números 3 y 7 . Obtenemos: 21 a+2 (x2+5 x) .

Respuesta: 3 23-1 a+4 x2+5 x=21 a+2 (x2+5 x)

Las operaciones con números pueden ir precedidas de otro tipo de transformaciones idénticas, como la agrupación de números o la expansión de paréntesis.

Ejemplo 19

Toma la expresión 3+2 (6:3) x (y3 4)−2+11 .

Decisión

Obtenemos: 3+2 2 x (y3 4)−2+11.

Abra los corchetes: 3+2 2 x (y3 4)−2+11=3+2 2 x y3 4−2+11 .

Agrupemos los factores numéricos del producto, así como los términos que son números: (3−2+11)+(2 2 4) x y3 .

Realizar acciones entre paréntesis: (3−2+11)+(2 2 4) x y3=12+16 x y3

Respuesta: 3+2 (6:3) x (y3 4)−2+11=12+16 x y3

Si trabajamos con expresiones numéricas, entonces el propósito de nuestro trabajo será encontrar el valor de la expresión. Si transformamos expresiones con variables, entonces el objetivo de nuestras acciones será simplificar la expresión.

Entre paréntesis el factor común

En aquellos casos en que los términos de la expresión tengan el mismo factor, entonces podemos quitar este factor común de los paréntesis. Para hacer esto, primero necesitamos representar la expresión original como el producto de un factor común y una expresión entre paréntesis, que consta de los términos originales sin un factor común.

Ejemplo 20

En la expresión numérica 2 7+2 3 podemos sacar el factor común 2 entre paréntesis y obtener una expresión idénticamente correcta de la forma 2 (7+3) .

Puede actualizar la memoria de las reglas para poner el multiplicador común fuera de paréntesis en la sección correspondiente de nuestro recurso. El material discute en detalle las reglas para sacar el factor común de paréntesis y proporciona numerosos ejemplos.

Reducción de términos semejantes

Ahora pasemos a las sumas que contienen términos semejantes. Aquí son posibles dos opciones: sumas que contienen los mismos términos y sumas cuyos términos difieren en un coeficiente numérico. Las operaciones con sumas que contienen términos semejantes se denominan reducción de términos semejantes. Se lleva a cabo de la siguiente manera: ponemos la parte común de la letra entre paréntesis y calculamos la suma de los coeficientes numéricos entre paréntesis.

Ejemplo 21

Considere la expresión 1+4 x−2 x . Podemos quitar la parte literal de x de los paréntesis y obtener la expresión 1+x (4−2) . Calculemos el valor de la expresión entre paréntesis y obtengamos la suma de la forma 1+x 2.

Reemplazar números y expresiones por expresiones que son idénticamente iguales a ellos

Los números y expresiones que forman la expresión original pueden ser reemplazados por expresiones que son idénticamente iguales a ellos. Tal transformación de la expresión original conduce a una expresión que es idénticamente igual a ella.

Ejemplo 22

Considere la expresión 3+x. Aquí el número 3 puede ser reemplazado por la suma 1+2. Entonces obtenemos la expresión (1 + 2) + x, idénticamente igual a la original.

Ejemplo 23

Considere la expresión 1+a5 , en la que podemos reemplazar la potencia a5 por su producto idéntico, por ejemplo, de la forma a a4 . Esto nos dará la expresión 1+a a4 .

Transformación artificial realizada. Solo tiene sentido en preparación para otras transformaciones.

Ejemplo 24

Considere la transformación de la suma 4 x3+2 x2 . Aquí podemos representar el término 4 x3 como el producto 2 x2 2 x . Como resultado, la expresión original se convierte en 2 x2 2 x+2 x2 . Ahora podemos extraer el factor común 2 x2 y sacarlo de los corchetes: 2 x2 (2 x+1) .

Sumar y restar el mismo número

Sumar y restar el mismo número o expresión al mismo tiempo es una técnica de transformación de expresión artificial.